行列式

1. 基本概念

$a.$ 定义

对于 2x2 矩阵

$$A=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}$$

它的行列式为：

$$\det A = ad - bc$$

$b.$ 性质

行列式具有如下性质：

1. 交换矩阵的任意两行，行列式的值乘以 -1。
2. 行列式在某一行上是线性的（前提是其他行保持不动）。
3. 消元不改变行列式的值。这个可以通过性质2来证明：

$$\det\begin{bmatrix} a & b \\ c - l a & d - l b \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} - l \det\begin{bmatrix} a & b \\ a & b \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

通过消元性质可以得到性质4：

4. 行列式的值等于主元乘积。我们对矩阵进行消元，得到类似下面的上三角矩阵：

$$U = \begin{bmatrix} p_1 & * & * \\[4pt] 0 & p_2 & * \\[4pt] 0 & 0 & p_3 \end{bmatrix}$$

而对于上三角矩阵，行列式为对角线元素的乘积，也即主元乘积。

如果在消元过程中进行了行交换，需要乘上对应的 -1。

5. 行列式为0的矩阵不可逆。这个可以通过 2x2 矩阵的分母看出，分母不可以为 0：

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

2. 克拉默法则

克拉默法则提出了一种用行列式求解 $Ax=b$ 的方法。假设我们有一个 3x3 矩阵，为了求解 $x_1$，我们构造下面的矩阵乘法式子：

$a.$ 基本概念

$$A \times \begin{bmatrix} x_1 & 0 & 0 \\ x_2 & 1 & 0 \\ x_3 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$

这里的两个矩阵分别通过把单位矩阵的第一列换成 $x$ 和把 $A$ 的第一列换成 $b$。我们记右边的矩阵为 $B_1$。根据行列式乘法性质：

$$\det(A) \times x_1 = \det(B_1)$$

即得：

$$x_1 = \frac{\det B_1}{\det A}$$

其他列同理：对 $x_i$，只需将 $A$ 的第 $i$ 列替换为 $b$ 即可。以下面的方程组为例：

$$\begin{aligned} 3x_1 + 4x_2 &= 2 \\ 5x_1 + 6x_2 &= 4 \end{aligned}$$

有：

$\det A = \begin{vmatrix}3 & 4\\[4pt]5 & 6\end{vmatrix} = 3\cdot6 - 4\cdot5 = 18 - 20 = -2$
$\det B_1 = \begin{vmatrix}2 & 4\\[4pt]4 & 6\end{vmatrix} = 2\cdot6 - 4\cdot4 = 12 - 16 = -4$
$\det B_2 = \begin{vmatrix}3 & 2\\[4pt]5 & 4\end{vmatrix} = 3\cdot4 - 2\cdot5 = 12 - 10 = 2$

$b.$ 逆矩阵求解

我们可以使用克拉默法则来求解逆矩阵。我们将逆矩阵求解转化为求解方程 $AA^{-1}=I$。

我们一列一列地求解。例如，对于$A^{-1}$ 的第1列，我们转化为解方程

$$Ax = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

根据克拉默法则，当 $b = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ 时，矩阵 $B_j$ 的行列式其实就变成了 $A$ 的代数余子式：

$$\det B_{1} \;=\; \begin{vmatrix} 1 & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = C_{11}$$

同理，求 $x_2$ 时，把 $A$ 的第二列换成 $(1, 0, 0)$，计算出来的行列式正好对应 $C_{12}$。于是有：

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} C^T$$

其中$C$ 是代数余子式矩阵，每个元素 $C_{ij}$ 是去掉第 $i$ 行第 $j$ 列后的行列式乘以 $(-1)^{i+j}$。

该公式的证明如下：我们转而证明 $A C^T = (\det A) I$。

• 对角线元素为：

$$D_{ii} = a_{i1} C_{i1} + a_{i2} C_{i2} + \dots + a_{in} C_{in}.$$

这正好是行列式 $\det A$ 按第 $i$ 行展开的公式。因此：

$$D_{ii} = \det A, \quad \forall i.$$

• 对于非对角线元素：

$$D_{ij} = a_{i1} C_{j1} + a_{i2} C_{j2} + \dots + a_{in} C_{jn}. \quad (i \neq j) \tag{1}$$

可以发现在这个式子里，我们交换$i$、$j$得到的行列式是一样的，这说明行列式中有两个相同的行，因此这些位置的值为0。于是：

$A C^T = \begin{bmatrix} \det A & 0 & \dots \\ 0 & \det A & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{bmatrix} = (\det A) I$