决策树是一种用于分类和回归（比如预测房价）的非线性方法。它的核心结构就像一棵树，包含两种节点： 1. 内部节点 (Internal nodes)：每个内部节点都**会对一个特征进行测试，并根据测试结果决定走向哪个分支**。通常一次只测试一个特征。 2...

与前面讨论的分类问题不同，在回归问题中，对于数据 $X$，我们需要**预测一个具体的数值（通常是连续的，比如房价、气温）**。 > 我们之前讨论的 QDA 和 LDA 其实也包含了回归的思想，因为它们不仅给出了分类结果，还给出了这个预测正确的概率。 回归问题包含如下三个部分： 1. 选择一个回归函数的形式 $h(x; w)$ 2...

岭回归 (Ridge Regression) 是标准最小二乘法线性回归的一种改良版，它额外增加一个 $\ell_2$ 惩罚项。 岭回归的成本函数如下： $$ J(w) = \|Xw − y \|^2 + λ \|w\|^2 $$ 岭回归的正规方程如下： $$ \bigl(X^{T}X+\lambda I^{\prime}\bigr)w = X^{T}y $$ 具体的数学推导在...

为了给回归问题建立一个统计模型，我们做出以下假设： $$ y_i=g(X_i) + \epsilon_i $$ 这个公式描述了我们观察到的数据点 $(X_i, y_i)$ 是如何产生的，其中： - $g(X_i)$ 是真实函数 (Ground Truth)。我们相信**在现实中，输入 $X$ 和输出 $y$ 之间存在一个我们不知道的、但固定不变的潜在规律...

> Let $f_{X\mid Y=C_i}(x) \sim \mathcal{N}(\mu _i,\sigma^2)$ for a two-class, one-dimensional ($d = 1$) classification problem with classes $C_1$ and $C_2$, $P(Y = C_1) = P(Y = C_2) = 1/2$, and...

> Concisely, $\Sigma = E[(Z − \mu )(Z − \mu )^{⊤}]$, where $\mu $ is the mean value of the (column) vector $Z$. Show that the covariance matrix is always positive semidefinite (PSD)...

在我们前面讲解的 SVM 分类器中，我们试图找到**一个明确的边界（超平面）来分隔不同类别的数据**。但现实世界中，数据往往是模糊和重叠的。这就引出了概率分类器的需求：我们不再给出一个“是”或“否”的确定性答案，而是**给出一个属于某个类别的概率**。 我们使用贝叶斯定理来知道我们的决策。首先定义如下的概念： - 决策规则 (Decision Rule)...

特征向量的定义如下：给定一个矩阵 $A$，如果有某个向量 $v$ 满足 $Av=\lambda v$，那么 $v$ 就是 $A$ 的特征向量。 特征向量的几何意义如下：它把矩阵 $A$ 的变换转换成了一个伸缩变换 $\lambda$ 下面我们讲解一下如何**从指定的特征向量和特征值，反向构造出一个对称矩阵 $A$**： 首先，我们构造一个特殊的坐标系（Orthonormal...

我们假定类别 $K$ 的数据符合正态分布： $$ f_k(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_k}\exp\. \left(-\frac{(x-\mu _k)^2}{2\sigma_k^2}\right) $$ 根据贝叶斯公式： $$ P(Y=k\mid X=x)=\frac{\pi_k f_k(x)}{\sum_{l=1}^{K}\pi_l f_l(x)}...

下面例子的 $X$ 是二维的。 ```python ```...